極限

こんにちは、岩野です。

現在高校２年生は数学Ⅲの極限を勉強中です。
極限とは、ある数の列なりがそのまま続いていくとどうなるのか？
ということを勉強していく分野です。

例えば簡単な数字の並びで考えると以下のような問題になります。

　１、１/２、１/３、１/４、・・・、１/ｎ、・・・
　この数字の並び（数列）のｎを∞（無限大：限り無く大きな数字）にしたらどんな値になるか？

ｎは１以上の整数になり、１/ｎは第ｎ番目の数字（一般化）という意味です。

ｎに入れる数字が大きければ大きいほど、その数字を入れられた１/ｎは小さいものになっていきます。
この数字の並びは右に行けば行くほど極めて０に近い値になりますが、分数の分子に１がありますので正確には０ではありません。
しかし、ほぼ０なので、この極限の分野では、　答え０　となります。
この答えの０は極限値といって、限りなく０に近いが０ではない値という意味です。

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ではこんな極限がいったい何に利用できるのか？
数学でいうと、まず曲線の傾き（変化の割合）に利用されます。
直線の傾きだったら中学生で勉強していて、２点の座標を利用すれば求められました。
しかし曲線は曲がっていますので場所によって傾きが変わってしまいます。
どこか曲線上の１点における傾きを求めようとするとうまくいきません。
そこでこの極限を利用します。
まず曲線上の２点を利用します。
もしこの２点の間の距離が０であれば２点ではなく１点の傾きが求められたことになります。
今までは距離が０だと計算式の分数の分母が０になってしまうので計算がそこから先に進めませんでした。
算数・数学では何かを０で割ってはいけない（分数の分母が０になってはいけない）というルールがありました。
しかし極限を利用すると０に極めて近い値ではあるけれども、０ではないので計算することができるのでした。

極限はそういった今まで出来なかったことが出来るようになる分野なのです。
先ほどは曲線の傾き（微分法）の例ですが、その他に曲線によって作られた面積も求められるようになります（積分法）。
極限から色々と広がっていくんですね。

ちなみに、その先の数学Ⅲの積分法までしっかり勉強するとドーナッツの体積も求められるようになったりします。


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